1- SENDO TETA UM ÂNGULO AGUDO E UM TRIÂNGULO RETÂNGULO QUALQUER, SABE-SE QUE O SENO DE TETA É IGUAL 0.6.
DETERMINE O COSSENO E A TEANGENTE DE TETA.
senθ =6/10 ou 3/5 (co/hip) hip² =co²+ca² 5² =3²+ca² ca² =25-9 ca²=16 ca = 4 cosθ =ca/hip = 4/10 ou 0,4 tgθ =co/ca ou senθ/cosθ tgθ = 3/4 = 0,75
2- Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo de canstante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida?
dados sen 15°=0,26 tg 15°=0,27
Fazendo um desenho simples temos um triângulo retângulo onde:D = distância percorrida -> hipotenusa do triânguloT = 2 km -> catero maiorH = altura do avião a partir da igreja -> cateto menorentão:sen 15° = H/D => 0,26 = H/D => H = 0,26*Dtg 15° = H/2 => 0,27 = H/2 => H = 2*0,27 => H = 0,54logo:D = 0,54/0,26 => D = 2,07 km
3 - caminhando em linha reta ao longo deuma praia,um banhista vai de um ponto A a um ponto B,cobrindo a distancia AB=1200m, quando em A, ele avista um navio parado no ponto N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°; e quando em B,verifica que o ângulo NBA é de 45°
calcule a distância em que se encontra o navio da praia.
obs. a letra B não aceita o o acento circunflexo indicando o angulo NBA.
4 -
5-
6 - O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é:
Se o ponteiro das horas estivesse exatamente sobre o "10", o ângulo entre ele e o ponteiro dos minutos seria de 150°. Basta contar, a partir do "10", no sentido horário: "11","12","1","2" e "3". Como cada ãngulo desses mede 30°, 5 ângulos somarão 150°. Mas, o problema é que o ponteiro das horas andou um pouco enquanto o dos minutos andou 90°. O ponteiro das horas andou 1/12 do dos minutos, ou seja, 90°/12=7,5°. Assim, o ângulo entre os ponteiros não é 150°, mas, sim, 150°-7,5°=142,5°.7 - Calcular o valor de seno, cosseno e tangente do angulo alpha no triangulo retangulo, cuja a hipotenuza é 4, cateto oposto é 2 e o cateto adjacente é 2 raiz de 3. Só que o angulo no triangulo é reto em cima.
Sabendo que: - sen (x) = cateto oposto / hipotenusa - cos (x) = cateto adjacente / hipotenusa - tg (x) = sen (x) / cos (x) sen (x) = 2/4 = 1/2 <=> sen^[-1] (1/2) = π/6 --> ângulo alfa cos (x) = 2√3 / 4 = √3 / 2 <=> cos^[-1] (√3/2) = π/6 --> ângulo alfa tg (x) = (1/2)/ √3/2 = 1/√38 - 1)Qual é o comprimento de um arco de medida de 3 radianos, contido em uma circunferencia cujo diametro mede 20 metros?
2)Transformando 7°30' em radianos se tem?
A) ∏ = pi e y = ângulo O arco AB Fórmula AB = ∏.r.y / 180° 3∏ = ∏. 10. y/180° 180°. 3∏ = 10. ∏. y 540°. ∏ = 10. ∏. y y = 540°. ∏ / 10. ∏ y = 54° este é o ângulo do arco AB logo 54° está para x assim como 180° está para ∏ logo: 180°. x = 54°. ∏ x = 54°. ∏ / 180° x= 0,3. ∏ então o comprimento do arco AB é: Cab = 0,3. ∏ Cab = 0,3. 3,14 Cab = 0,942 cm B) 7°30' = 7,5° logo: 7,5° está para X assim como 180° está para ∏ então 180°. X = 7,5°. ∏ X = 7,5°. ∏ / 180° X = 7,5∏ rad/ 180 ou X é aproximado a 0,416∏ radianos 9) NUM TRIANGULO RETANGULO DE HIPOTENUSA 10 cm, AS MEDIDAS DOS CATETOS ESTAO NA RAZAO DE 1 PARA 3.?
DETERMINE AS MEDIDAS DAS PROJEÇÕES DOS CATETOS NA HIPOTENUSA.
a =10 b/c =1/3 → c = 3b a² =b²+c² 100 =b²+9b² 10b² =100 b =√10 c=3√10 Projeções sobre a hipotenusa: b² = a.m 10 =10m m=1cm c² =a.n 90 =10n n=9 cm10 )
A ALTURA RELATIVA A HIPOTENUSA DETERMINA SOBRE ELA SEGMENTOS DE MEDIDAS 3cm e 4 cm.
QUANTO MEDEM OS CATETOS DESSE TRIANGULO?
m=3 e n=4
a=m+n = 7
b² =a.m
b² =7(3)
b =√21
c² =a.n
c² =7(4)
c=√28 = 2√7
11) MOSTRE QUE EM TODO TRIANGULO RETANGULO, A DIFERENÇA ENTRE OS QUADRADOS DOS CATETOS É IGUAL AO PRODUTO DA HIPOTENUSA PELA DIFERENÇA ENTRE AS PROJEÇÕES DOS RESPECTIVOS CATETOS SOBRE A HIPOTENUSA.
a prova é uma imagem onde ele mostra que a soma área dos quadrados menores é igual a área do quadrado maior, sendo que os lados dos quadrados são os lados do triângulo
.....................................12)
Qual a medida, em graus, do ângulo de 1 radiano? Qual a medida, em radianos, do ângulo de 1 grau.
Logo, 
. Portanto, 1 radiano corresponde a aproximadamente 57o.
 | O raio r é unitário; tem 1umc.
O comprimento do arco AB é 1 umc. O ângulo  tem 1 radiano. O arco AB tem 1 radiano. |
Por outro lado, temos:
Logo, 
ou seja, 1o corresponde a aproximadamente a 0,017 rad.
13) Como se relaciona a medida em graus e em radianos de um mesmo arco na circunferência trigonométrica?
Dado um arco, com ao temos:
de onde,
rad
Por outro lado, dado um arco, com x rad, temos:
de onde
14)Calcule em radianos: 30
o, 60
o, 75
o, -120°, 136°, 1360°, -1360°.
Pelo Exercício 2, já sabemos que a medida a em graus se relaciona com a medida x em radianos. Colocando: 
rad, temos:
Quando a = 30º, temos 
Quando a = 60º, temos 
Quando a = 75º, temos 
Quando a = -120º, temos 
Quando a = 136º, temos 
Quando a = 1360º, temos 
Quando a = -1360º, temos 
15)Calcule em graus:
3 rad, 
rad, 
rad, 
rad, 8 rad.
já sabemos que a medida a em graus, se relaciona com a medida x em radianos. Colocando: 
, temos:
Quando x=3 rad, temos 
Quando x=
rad, temos 
Quando x= 
rad, temos 
Quando x= 
rad, temos 
Quando x=8 rad, temos 
16)Calcule qual a medida em radianos do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 13h 15min.
O ponteiro das horas: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, se desloca
30º = 
rad.
Então, em 15 min, o ponteiro das horas se desloca 
rad.
O ponteiro dos minutos: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, se desloca
360º = 2
rad.
Então, em 15 min, o ponteiro dos minutos se desloca 90o = 
rad.
Portanto, em radianos, o ângulo 
procurado é:
17)
Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 15h 15min.
a cada hora, o ponteiro das horas se desloca 30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30'.
Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos.
Logo, o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30', às 15h e 15min. 
18)
Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após ter passado 1 hora?
Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que o raio é 2,5 cm.
Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de uma volta no relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma volta.
Assim, o comprimento desse arco é 
cm.
19)Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométrica para se representar os números 
e -12?
Dado o número real 
, temos:
Portanto, para representa-lo será necessário dar uma volta inteira e mais um doze avos de meia volta, no sentido positivo de percurso, isto é, no sentido anti-horário.
Por outro lado, dado o número real -12, temos: 
, ou seja, será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 0,91 de volta no sentido horário, já que o número dado é negativo.
20)
Se um ponto P da circunferência trigonométrica corresponde a um número x real, qual é a forma dos outros números que também correspondem a esse mesmo ponto?
Dado um número real x, fica determinado um ponto P da circunferência trigonométrica, de modo que o comprimento do arco AP, bem como a medida em radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que difira do número x, por um número inteiro de vezes 
, irá corresponder a esse mesmo ponto P.
Assim, a forma dos outros números que também correspondem a esse mesmo ponto é 
.
